Teorem binomial penaganggapan umum Newton

Sekitar 1665, Isaac Newton mengumumkan rumusan untuk membenarkan eksponen benar selain daripada integer bukan negatif, dan ternyatanya ia dapat diumumkan lanjutnya, ke eksponen kompleks. Dalam pengumuman ini, jumlah terhad diganti oleh suatu turutan tidak terhad. Supaya dapat melakukan ini seorang perlu memberikan makna pada koefisien binomial dengan suatu indeks atasan, yang tidak dapat dilakukan menggunakan rumusan di atas dengan faktorial; meskipun mengfaktorkan (n−k)! dari pembilang dan penyebut dalam rumusan itu, dan menggantikan n oleh r yang kini berdiri untuk suatu bilangan sembarangan, seorang dapat mentakrifkan

( r k ) = r ( r − 1 ) ⋯ ( r − k + 1 ) k ! = ( r ) k k ! , {\displaystyle {r \choose k}={\frac {r\,(r-1)\cdots (r-k+1)}{k!}}={\frac {(r)_{k}}{k!}},}

di mana ( ⋅ ) k {\displaystyle (\cdot )_{k}} adalah tanda Pochhammer. Oleh itu, jika x dan y adalah nombor benar dengan |x| > |y|,[4] dan r adalah mana-mana nombor kompleks, one has

( x + y ) r = ∑ k = 0 ∞ ( r k ) x r − k y k ( 2 ) = x r + r x r − 1 y + r ( r − 1 ) 2 ! x r − 2 y 2 + r ( r − 1 ) ( r − 2 ) 3 ! x r − 3 y 3 + ⋯ . {\displaystyle {\begin{aligned}(x+y)^{r}&=\sum _{k=0}^{\infty }{r \choose k}x^{r-k}y^{k}\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad (2)\\&=x^{r}+rx^{r-1}y+{\frac {r(r-1)}{2!}}x^{r-2}y^{2}+{\frac {r(r-1)(r-2)}{3!}}x^{r-3}y^{3}+\cdots .\end{aligned}}}

Apabila r adalah sebuah integer bukan negatif, koefisien binomial untuk k > r adalah kosong, jadi (2) memakarkan (1), dan ada kebanyakannya r + 1 jangka bukan kosong. Untuk nilai-nilai lain r, turutan (2) mempunyai nombor bukan terhad pada jangka-jangka bukan kosong, sekurang-kuranganya jika x dan y adalah bukan kosong.

Ini adalah penting apabila seorang bekerja dengan turutan tidak terhad dan ingin mewakili meraka dari segi fungsi hipergeometri berumuman.

Mengambil r = −s membawa ke suatu yang khususnya mudah digunakan tetapi rumusan bukan-ketara:

1 ( 1 − x ) s = ∑ k = 0 ∞ ( s + k − 1 k ) x k ≡ ∑ k = 0 ∞ ( s + k − 1 s − 1 ) x k . {\displaystyle {\frac {1}{(1-x)^{s}}}=\sum _{k=0}^{\infty }{s+k-1 \choose k}x^{k}\equiv \sum _{k=0}^{\infty }{s+k-1 \choose s-1}x^{k}.}

Pengkhususan lanjut pada s = 1 menghasilkan rumusan turutan geometri.

Penganggapan umum

Rumusan (2) dapat diumumkan pada perkaranya di mana x dan y adalah nombor kompleks. Untuk versi ini, seorang harus menganggap |x| > |y|[4] dan mentakrifkan punca kuasa x + y dan x menggunakan suatu cabang log holomorphic ditakrifkan pada suatu cakera buka pada jejari |x| dipusatkan pada x.

Rumusan (2) adalah sah untuk elemen-elemen x dan y pada suatu algebra Banach selagi xy = yx, x adalah bersongsang, dan ||y/x|| < 1.

Teorem multinomial

Teorem binomial dapat diumumkan untuk memasuki kuasa-kuasa jumlah lebih daripada dua jangka. Versi umunya adalah

( x 1 + x 2 + ⋯ + x m ) n = ∑ k 1 , k 2 , … , k m ( n k 1 , k 2 , … , k m ) x 1 k 1 x 2 k 2 ⋯ x m k m . {\displaystyle (x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{m})^{n}=\sum _{k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}{n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}\cdots x_{m}^{k_{m}}.}

di mana ringkasan diambil alih ke atas semua langkah-langkah bukan indeks integer negatif k1 melalui km sebarangan jumlah semua ki is n. (Untuk tiap jangka dalam pemanjangan, eksponen seharusnya ditambahkan ke n). Koefisien ( n k 1 , ⋯ , k n ) {\displaystyle {\tbinom {n}{k_{1},\cdots ,k_{n}}}} digelarkan koefisien multinomial, dan dapat dikirakan dengan rumusan

( n k 1 , k 2 , … , k m ) = n ! k 1 ! k 2 ! ⋯ k m ! . {\displaystyle {n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}={\frac {n!}{k_{1}!\,k_{2}!\cdots k_{m}!}}.}

Secara kombinatorial, koefisien multinomial ( n k 1 , ⋯ , k n ) {\displaystyle {\tbinom {n}{k_{1},\cdots ,k_{n}}}} mengirakan nombor berlainan cara ke pembahagian suatu set elemen-n ke dalam subset tidak sama pada saiz-saiz k1, ..., kn.